این ابزارهای ریاضی که بر اساس تبدیل فوریه همه جا حاضر هستند، امکان تجزیه و تحلیل بی سابقه سیگنال های پیوسته را فراهم می کنند.
در دنیایی که به طور فزاینده ای مبتنی بر داده است، ابزارهای ریاضی شناخته شده به عنوان موجک به روشی ضروری برای تجزیه و تحلیل و درک اطلاعات تبدیل شده اند. بسیاری از محققان داده های خود را به شکل سیگنال های پیوسته دریافت می کنند، به این معنی که یک جریان ناگسستنی از اطلاعات در حال تکامل در طول زمان است، مانند یک ژئوفیزیکدان که به امواج صوتی که از لایه های سنگی زیر زمین منعکس می شود گوش می دهد، یا یک دانشمند داده در حال مطالعه جریان های داده الکتریکی به دست آمده از اسکن تصاویر.. این داده‌ها می‌توانند شکل‌ها و الگوهای مختلفی به خود بگیرند، و تجزیه و تحلیل آنها به‌عنوان یک کل یا جدا کردن آنها و مطالعه تکه‌هایشان را دشوار می‌کند – اما موجک‌ها می‌توانند کمک کنند.
داستان اصلی با مجوز مجله Quanta، یک نشریه مستقل از بنیاد سیمونز که مأموریت آن افزایش درک عمومی از علم با پوشش پیشرفت‌ها و گرایش‌های تحقیقاتی در ریاضیات و علوم فیزیکی و زیستی است، تجدید چاپ شده است.
موجک ها نمایشی از نوسانات موج کوتاه با محدوده فرکانس و اشکال مختلف هستند. از آنجایی که آنها می توانند اشکال مختلفی به خود بگیرند - تقریباً هر فرکانس، طول موج و شکل خاصی ممکن است - محققان می توانند از آنها برای شناسایی و مطابقت الگوهای موج خاص در تقریباً هر سیگنال پیوسته استفاده کنند. موجک ها به دلیل تطبیق پذیری گسترده خود، انقلابی در مطالعه پدیده های امواج پیچیده در پردازش تصویر، ارتباطات و جریان های داده های علمی ایجاد کرده اند.
امیر همایون نجمی، فیزیکدان نظری در دانشگاه جانز هاپکینز، می گوید: «در واقع، تعداد کمی از اکتشافات ریاضی بر جامعه فناوری ما به اندازه موجک ها تأثیر گذاشته اند. تئوری موجک درها را به روی بسیاری از کاربردها در یک چارچوب یکپارچه با تأکید بر سرعت، پراکندگی و دقت که قبلاً به سادگی در دسترس نبود، باز کرده است.
موجک ها به عنوان نوعی به روز رسانی برای یک تکنیک ریاضی بسیار مفید به نام تبدیل فوریه به وجود آمدند. در سال 1807، جوزف فوریه کشف کرد که هر تابع تناوبی - معادله ای که مقادیر آن به صورت چرخه ای تکرار می شود - می تواند به صورت مجموع توابع مثلثاتی مانند سینوس و کسینوس بیان شود. این امر مفید واقع شد زیرا به محققان اجازه می‌دهد یک جریان سیگنال را به بخش‌های تشکیل‌دهنده آن تقسیم کنند و به عنوان مثال، یک زلزله‌شناس را قادر می‌سازد تا ماهیت ساختارهای زیرزمینی را بر اساس شدت فرکانس‌های مختلف در امواج صوتی منعکس‌شده شناسایی کند.
در نتیجه ، تبدیل فوریه مستقیماً به تعدادی از برنامه های کاربردی در تحقیقات و فناوری علمی منجر شده است. اما موجک ها با دقت بیشتری امکان پذیر هستند. Véronique Delouille ، یک ریاضیدان و اخترفیزیک کاربردی در رصدخانه سلطنتی بلژیک که از موجک ها برای تجزیه و تحلیل تصاویر خورشید استفاده می کند ، گفت: "موجک ها درهای بسیاری از پیشرفت ها را در زمینه نویز ، ترمیم تصویر و تجزیه و تحلیل تصویر باز کرده اند."
به این دلیل است که تبدیل فوریه محدودیت عمده ای دارد: آنها فقط اطلاعات مربوط به فرکانس های موجود در یک سیگنال را ارائه می دهند و هیچ چیزی در مورد زمان یا کمیت آنها نمی گویند. به نظر می رسد که شما فرایندی برای تعیین نوع صورتحساب در یک شمع پول نقد داشته باشید ، اما نه در واقع تعداد آنها در واقع وجود دارد. مارتین وترلی ، رئیس موسسه فناوری فدرال سوئیس ، لوزان گفت: "موجک ها قطعاً این مشکل را حل کردند و به همین دلیل آنها بسیار جالب هستند."
اولین تلاش برای برطرف کردن این مشکل از دنیس گابور ، یک فیزیکدان مجارستانی بود که در سال 1946 پیشنهاد کرد که قبل از استفاده از تحول های فوریه ، سیگنال را به بخش های کوتاه و محلی محلی برش دهد. با این حال ، تجزیه و تحلیل در سیگنال های پیچیده تر با اجزای فرکانس به شدت در حال تغییر دشوار بود. این امر باعث شد مهندس ژئوفیزیک ژان مورلت با استفاده از ویندوزهای زمانی برای بررسی امواج ، با طول ویندوز بسته به فرکانس: ویندوزهای گسترده برای بخش های با فرکانس پایین سیگنال و ویندوزهای باریک برای بخش های فرکانس بالا.
اما این پنجره ها هنوز هم حاوی فرکانس های کثیف زندگی واقعی بودند که تجزیه و تحلیل آنها دشوار بود. بنابراین مورلت این ایده را داشت که هر بخش را با موج مشابهی که از نظر ریاضی به خوبی درک شده بود ، مطابقت دهد. این به او اجازه می داد ساختار کلی و زمان بندی این بخش ها را درک کند و آنها را با دقت بسیار بیشتری کشف کند. در اوایل دهه 1980 ، Morlet این الگوهای موج ایده آل را "Ondelettes" نامگذاری کرد ، فرانسوی برای "موجک" - به طور کلی ، "امواج کوچک" - به دلیل ظاهر آنها. بنابراین می توان سیگنال را به مناطق کوچکتر برش داد ، هر کدام در اطراف یک طول موج خاص قرار گرفته و با جفت شدن با موجک تطبیق تجزیه و تحلیل می شوند. برای بازگشت به مثال قبلی ، ما می دانیم که چه تعداد از هر نوع صورتحساب موجود در آن وجود دارد.
لیلی هی نیومن
تقریباً تصور کنید که یک موجک خاص با فرکانس و شکل خاصی را روی سیگنال خام می‌لغزید. هر زمان که شما یک تطابق به خصوص خوب داشته باشید، یک عملیات ریاضی بین آنها به نام حاصلضرب نقطه صفر یا بسیار نزدیک به آن می شود. با اسکن کل سیگنال با موجک‌های فرکانس‌های مختلف، می‌توانید یک تصویر جامد از کل قطار سیگنال را کنار هم قرار دهید و امکان تجزیه و تحلیل کامل را فراهم کنید.
تحقیقات روی موجک ها به سرعت تکامل یافت. ایو مایر، ریاضیدان فرانسوی، پروفسور École Normale Supérieure در پاریس، منتظر نوبت خود در دستگاه فتوکپی بود که یکی از همکارانش مقاله ای درباره موجک ها توسط مورلت و فیزیکدان نظری الکس گروسمن به او نشان داد. میر بلافاصله مجذوب شد و با اولین قطار موجود به مارسی رفت و در آنجا با گروسمن و مورلت و همچنین ریاضیدان و فیزیکدان اینگرید داوبچیس (اکنون در دانشگاه دوک) کار خود را آغاز کرد. مایر به خاطر کارش در نظریه موجک برنده جایزه آبل شد.
چند سال بعد، یک دانشجوی فارغ التحصیل در دانشگاه ایالتی پنسیلوانیا که در حال مطالعه بینایی کامپیوتر و تجزیه و تحلیل تصویر بود، به نام استفان مالات، در ساحل با یکی از دوستان قدیمی اش برخورد کرد. این دوست، دانشجوی کارشناسی ارشد مایر در پاریس، درباره تحقیقات خود در زمینه موجک ها به ملات گفت. مالات فوراً اهمیت کار مایر را برای تحقیقات خود درک کرد و به سرعت با مایر همکاری کرد. در سال 1986 آنها مقاله ای در مورد کاربرد موجک ها در تجزیه و تحلیل تصویر تولید کردند. در نهایت، این کار منجر به توسعه JPEG2000 شد که نوعی فشرده‌سازی تصویر در سراسر جهان است. این تکنیک سیگنال یک تصویر اسکن شده را با موجک ها تجزیه و تحلیل می کند تا مجموعه ای از پیکسل ها را تولید کند که در کل بسیار کوچکتر از تصویر اصلی است و در عین حال امکان بازسازی تصویر با وضوح اصلی را نیز فراهم می کند. این تکنیک زمانی ارزشمند بود که محدودیت های فنی انتقال مجموعه داده های بسیار بزرگ را محدود می کرد.
لیلی هی نیومن
بخشی از آنچه موجک ها را بسیار مفید می کند ، تطبیق پذیری آنها است که به آنها امکان می دهد تقریباً هر نوع داده را رمزگشایی کنند. Daan Huybrechs ، مهندس ریاضی در دانشگاه کاتولیک لوون در بلژیک گفت: "انواع بسیاری از موج ها وجود دارد ، و شما می توانید آنها را خرد کنید ، آنها را کشیده کنید ، می توانید آنها را با تصویر واقعی مورد نظر خود سازگار کنید."الگوهای موج در تصاویر دیجیتالی می تواند از جنبه های مختلفی متفاوت باشد ، اما موجک ها همیشه می توانند کشیده یا فشرده شوند تا بخش های سیگنال با فرکانس های پایین تر یا بالاتر مطابقت داشته باشند. شکل الگوهای موج نیز می تواند به شدت تغییر کند ، اما ریاضیدانان انواع مختلفی یا "خانواده ها" از موجک هایی با مقیاس و شکل های مختلف موج را توسعه داده اند تا با این تنوع مطابقت داشته باشند.
یکی از مشهورترین خانواده های موجک ، موجک مادر Daubechies است که اعضای آن دارای ساختار فراکتالی خودکشی هستند و قله های نامتقارن بزرگ تقلید می کنند که تکرارهای کوچکتر قله ها را تقلید می کنند. این موجک ها چنان نسبت به تجزیه و تحلیل تصویر حساس بوده اند که کارشناسان از آنها برای تمایز نقاشی های اصلی وینسنت ون گوگ از جعل استفاده کرده اند. سایر خانواده های موجک که به شکل های خود شناخته شده اند شامل کلاه مکزیکی هستند ، با یک حداکثر مرکزی و دو مینیما مجاور ، و موجک Coiflet (نامگذاری شده توسط ریاضیدان رونالد کویفمن در دانشگاه ییل) ، شبیه به کلاه مکزیکی اما با قله های تیز به جای مناطق مسطحواداینها برای ضبط و از بین بردن سنبله های سر و صدای ناخواسته در تصاویر ، سیگنال های صدا و جریان داده های تولید شده توسط ابزارهای علمی مفید هستند.
علاوه بر استفاده از آنها در تجزیه و تحلیل سیگنال های صوتی و در پردازش تصویر ، موجک ها نیز ابزاری در تحقیقات اساسی هستند. آنها می توانند با اجازه دادن به آنها به تجزیه و تحلیل کل مجموعه داده ها ، به محققان کمک کنند تا الگوهای موجود در داده های علمی را کشف کنند. Huybrechs گفت: "همیشه به من اعتصاب می کند که برنامه ها چقدر متنوع هستند.""چیزی در مورد موجک ها وجود دارد که آنها را به عنوان" درست "برای بررسی داده ها تبدیل می کند" ، و این مهم نیست که چه نوع داده ای باشد.
داستان اصلی با مجوز مجله Quanta ، یک انتشار مستقل از بنیاد سیمونز ، که مأموریت آن تقویت درک عمومی از علم با پوشش تحولات پژوهشی و روندهای ریاضیات و علوم فیزیکی و زندگی است ، چاپ شده است.
